Introducción a Fibonacci

Leonardo Pisano, más conocido como Fibonacci, explicó el desarrollo de fenómenos naturales de crecimiento a través de su conocida secuencia numérica. Ha demostrado que dicha serie está estrechamente ligada al desarrollo progresivo de estructuras dinámicas, y su utilidad radica en las propiedades de los ratios que arroja.

El presente trabajo, tiene como finalidad demostrar que la aplicabilidad de estas leyes tiene una importante probabilidad de éxito en los mercados financieros, y principalmente en el Mercado de Divisas, partiendo de la premisa que afirma que la sociedad es un sistema dinámico, y que el comportamiento de las masas queda reflejado en los mercados financieros.

Es por esto que se plantea la posibilidad de predecir el comportamiento de precios futuros en el mercado internacional de divisas, tomando como punto de partida los descubrimientos de Fibonacci, combinados con el Oscilador ZigZag.

Partiendo del concepto que las cotizaciones en el Mercado Internacional de Divisas se mueven por tendencias, en el presente trabajo se propone demostrar que a través de los ratios descubiertos por Fibonacci, se pueden determinar las zonas objetivo a las que se dirigen los precios, cuando presentan correcciones en contra de la tendencia principal.

El Método: Fibonacci, y su legado

Para llevar adelante la demostración empírica del presente trabajo, aislamos los ratios de corrección o regresión más relevantes planteados por Fibonacci, a partir del descubrimiento de su secuencia numérica.

Varios fueron los aportes que incorporó a las ciencias matemáticas, pero su más relevante descubrimiento fue denominado en los años 70 del siglo XIX, por el matemático francés Edouard Lucas como Secuencia Fibonacci a estas series de números.

La secuencia. Sus propiedades y características

Esta secuencia es una ley que explica el desarrollo de fenómenos naturales de crecimiento, y se genera sumando dos números consecutivos para obtener el siguiente. En el siglo XVII un matemático estableció la fórmula que expresa la relación existente ente los números de la secuencia Fibonacci:



La serie Fibonacci resultante es: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, etc.…

Fibonacci demostró que esa secuencia puede manifestarse en la evolución de un fenómeno de la Naturaleza, puesto que la solución a un problema matemático basado en el proceso de reproducción de una pareja de conejos así lo confirmaba.

El problema consistía en determinar cuántos conejos se pueden obtener a partir de una pareja durante un año, sabiendo que:

a) La pareja inicial puede procrear desde el primer mes, pero las parejas siguientes sólo podrán hacerlo a partir del segundo mes.
b) Cada parto es de dos conejos.

Si se supone que ninguno de los conejos muere, el proceso sería el siguiente:

1. El mes nacerían un par de conejos, con lo cual ya habría un par de parejas.
2. Durante el segundo mes, el par de conejos inicial, produciría otra pareja, con lo que ya sumarían tres pares.
3. A lo largo del tercer mes, la pareja original y la primera pareja nacida producirían nuevas parejas, es decir ya existirían cinco parejas

Como se puede observar en la siguiente tabla, si se continúa el análisis de este fenómeno natural los resultados de parejas de conejos forman la serie Fibonacci.


Sin embargo, la utilidad que proporciona esta serie radica en sus propiedades fundamentales, descubiertas en el siglo XVIII:

1. Si se dividen los números que son consecutivos de la serie, es decir, 1/1, 1/2, 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, etc. Se verá que el resultado obtenido tiende al número 0.618.

2. Si se dividen los números no consecutivos de la serie, es decir, ½, 1/3, 2/5, 3/8, 5/13, 8/21, etc. Se observará que el resultado obtenido tiende al número 0.382.

3. Si se calcula ahora la razón de cualquier número de la serie al siguiente número más bajo, es decir, 21/13, 13/8, 8/5... el resultado tiende a 1.618, que es el inverso de 0.618.

4. Si se calcula ahora la razón de cualquier número de la serie al siguiente número más bajo no consecutivo, es decir, 21/8, 13/5, 8/3... el resultado tiende a 2.618, que es el inverso de 0.382.

Por ej.; 144 / 233 = 0,618 144/89= 1.6179


La divergencia entre el resultado de estos cocientes y 0,618 ó 1,618, es mayor cuanto más pequeño son los números de la serie utilizados.

La proporción 1,618, ó su inversa 0,618, fueron denominada por los antiguos griegos “razón áurea” o “media áurea”, y se representa con la letra griega phi, que hace referencia al autor griego Phidias. Chirstopher Carolan, menciona que Phidias, autor de las estatuas de Atenas en el Partenón y de Zeus en Olimpia, considero determinante el papel del número phi en el Arte y la Naturaleza.

Este ratio cuyo inverso es él mismo más la unidad, caracteriza a todas las progresiones de este tipo, sea cual sea el número inicial.

Los dos ratios principales son 0,618 y su inverso 1,618, pero se pueden seguir derivando ratios de la secuencia Fibonacci, simplemente aumentando la distancia entre los números que se combinaban.

Así, cada número se relaciona con su alternante posterior a través del ratio 0,382 y con su alternante anterior mediante el ratio inverso 2,618.

Por ejemplo: 144/377=0,3819 144/55=2,618

De igual forma, el cociente entre un número y el tercero posterior de 0,236, y la proporción entre un número y el tercero anterior es 4,236.

Por ejemplo: 89/377=0.236 144/21=4,238

Al igual que ocurre con 0,618 y 1,1618, estos ratios son más exactos cuanto mayores son los números de la serie Fibonacci a los que se aplican los cálculos. La tabla 2 refleja algunos de los ratios, formados a partir de la proporción phi 1,618, o su inversa 0,618:


Carolan destacó que los ratios de la Tabla 1 se pueden ordenar de la siguiente forma: 0,146, 0,236, 0,382, 0618, 1, 1,1618, 2,618, 4,236, 6,854, para formar una secuencia aditiva con las propiedades de una serie Fibonacci, pues cada número es la suma de los dos inmediatamente anteriores y, además, cada número es 1,618 veces el anterior.

Las manifestaciones de Fibonacci

La verificación de la seria Fibonacci en tantos fenómenos de la vida real, condujo a varios estudiosos a observar la relación existente entre estas matemáticas de la naturaleza y el comportamiento de los mercados financieros.

Quizás sea esta la parte mas curiosa y llamativa, pues se ha descubierto que la secuencia Fibonacci se encuentra en la Naturaleza, dando forma a estructuras físicas y definiendo el proceso de cambio de estructuras dinámicas, tal y como lo manifiestan diferentes autores en sus obras.

A finales del siglo XIX, el botánico A. H. Church, de la Universidad de Oxford, descubrió que el girasol tiene distribuidas sus semillas alrededor del centro en 89 curvas, de las cuales 55 giran en una dirección y 34 en la dirección contraria .

A raíz de este descubrimiento, los botánicos han encontrado números Fibonacci en otras partes de la Naturaleza, por ejemplo, la margarita forma un modelo de espiral similar al del girasol en el centro de su flor, y existe una gran cantidad de flores cuyo número de pétalos es un número Fibonacci.

Un matemático de la Universidad de Arizona, Alan Newell, y el estudiante Patrick Shipman han estudiado recientemente los cactus para determinar por qué este patrón numérico es tan universal. Estos investigadores analizaron la forma de la planta, el grosor de su piel y multitud de otras energías biomecánicas que dirigen su crecimiento. Cuando introdujeron los datos en el ordenador, descubrieron, por sorpresa, que las configuraciones más estables seguían las formas basadas en la serie de Fibonacci.

La secuencia Fibonacci también se refleja en la espiral que formaron algunos árboles al desarrollar sus ramas; el número de ramas existente entre una determinada rama y la siguiente de la misma vertical es un número Fibonacci, calculado incluyendo una de las dos ramas correspondientes.

Los números Fibonacci también se encuentran en la estructura del cuerpo humano. El hombre tiene cinco apéndices (dos brazos, dos piernas y una cabeza); cada brazo y cada pierna se componen de tres partes, acabando la última de ellas en cinco apéndices (cinco dedos), divididos en tres pequeñas falanges cada uno, excepto dos de ellos que solo poseen dos. A su vez la cabeza tiene tres rasgos salientes (dos orejas y una nariz), y tres rasgos incrustados (dos ojos y una boca). Por último, el cuerpo humano tiene cinco sentidos físicos: la vista, el oído, el olfato, el gusto y el tacto.

“El cuerpo humano tampoco es ajeno al número de oro, o phi". Con su conocido dibujo del hombre de Vitrubio, Leonardo da Vinci ilustró el libro "La Divina Proporción" del matemático Luca Pacioli, editado en 1509. En dicha obra se describen cuáles han deben ser las proporciones de las creaciones artísticas. Pacioli propone una figura humana en la que las relaciones entre las distintas partes de su cuerpo son proporciones áureas. Así, en este hombre armónicamente perfecto para Pacioli, el cociente entre la altura del hombre -el lado del cuadrado-y la distancia del ombligo a la punta de la mano -el radio de la circunferencia- es el número áureo”.


También el cuerpo de la mayoría de los animales se compone de un torso y cinco salientes (la cabeza y cuatro patas); las aves tiene cinco proyecciones en su cuerpo: la cabeza, dos alas, y dos patas.

En la música también hay presentes números Fibonacci, siendo el instrumento que mejor los refleja el piano. La subdivisión de un teclado se hace en octavas, compuestas cada una de ellas por ocho teclas blancas y cinco negras; las teclas negras se distribuyen a lo largo del teclado alternando en grupos de dos y tres. Un teclado completo se compone de once octavas, aunque puede tener una tecla más, es decir 89. El acorde y arpegio por excelencia que permiten identificar cualquier tonalidad, son los formados por las notas primeras, terceras, quinta y octava de la escala de dicha tonalidad.

Desde los tiempos de los profesores Church y Hambidge, el interés por los números Fibonacci en una gran cantidad de investigadores condujo a la creación en 1963 por un grupo de matemáticos de la Sociedad Fibonacci, con sede en California, con el fin de intercambiar ideas y estimular la investigación sobre las manifestaciones de estos números que existen en la Naturaleza.

Se ha demostrado que la secuencia Fibonacci esta estrechamente ligada al desarrollo progresivo de estructuras dinámicas, y dado que la sociedad es un sistema dinámico, la historia del hombre puede estar desarrollándose conforme a esta ley de la Naturaleza basada en la proporción 3-5 ò 0,618; si esto se añade que el comportamiento de las masas queda reflejado en los mercados financieros, se deduce que la secuencia Fibonacci puede cumplirse en dichos mercados.

En la siguiente sesión partiremos de los conceptos brindados hasta aquí, y desarrollaremos el modelo que nos servirá para poder contrastar el objetivo planteado en el presente trabajo.

Aplicación en el Mercado Objetivo

Población: definición

Una vez elegido el mercado objetivo se enfoco el estudio en 4 (cuatro) pares de divisas, dentro del Mercado Internacional de Divisas.

A los fines de buscar la mayor objetividad, se estudiaron aquellos pares con mayor volumen negociado en el Mercado FOREX, ya que entre ellos acumulan el 85% de las transacciones diarias.

• El par EUR (Euro)/USD (United States Dollars)

Luego de su aparición en Diciembre de 1999, el Euro reemplazó rápidamente al Marco Alemán y paso a ser la segunda divisa en el mundo, ganando cada día mayor aceptación. El Euro tiene una presencia internacional muy fuerte debido al poder de la Comunidad Económica Europea, sin importar la exposición a los diversos factores políticos económicos que lo puedan afectar.

• El par GBP (Great Britain Pound)/USD

Fue la divisa de referencia hasta el comienzo de la segunda guerra mundial, la mayoría de sus transacciones toman lugar en Londres que hoy por hoy es el mercado internacional más grande del mundo a pesar de su baja en el volumen durante las sesiones de operación de los mercados americanos.

• El par USD/JPY (Japanese Yen)

Esta es la tercera divisa más transada en el mundo haciendo el mercado bastante líquido las 24 horas del día. Dado que gran parte de la economía oriental se mueve de acuerdo al Japón, el Yen es bastante sensitivo a factores como la producción agrícola de oriente, a factores tecnológicos, a los precios de mano de obra regionales y al NIKKEI (que es el índice de la bolsa japonesa).

• El par USD/CHF (Helvetic Confederation Franc)

Esta es la otra gran moneda europea que no es parte del Euro y tampoco forma parte del G-7, pero a su vez es favorecida en términos de la incertidumbre política que pueda envolver a la comunidad económica. Prácticamente puede decirse que el Franco Suizo, se comporta en forma bastante parecida al Euro frente al dólar.

MUESTRA: alcance

El presente trabajo se desarrollo en las siguientes sesiones horarias, debido a que las mismas presentan una relevante cantidad de tiempo de cotización del subyacente, y permiten disminuir los “ruidos”, del corto plazo:

• Sesión Diaria: 24 horas de transacciones o cotizaciones. Engloban el comportamiento de 6 sesiones de 4 horas. Se utilizan para analizar en profundidad la tendencia de Mediano Plazo (semanas), y en Largo Plazo (meses).

• Sesión de 4 (cuatro) horas, nos brinda un mayor detalle de la temporalidad. Debido a que dentro de las 24 horas de transacciones continuas, hay momentos donde el mercado cuenta con mayor volumen de transacciones, hecho derivado de la apertura y cierre de los principales centros financieros mundiales (Tokio, Londres, Frankfurt, y New York).

Igualmente, invitamos a los lectores a extender el presente análisis a sesiones horarias de menor o mayor duración, donde encontrarán resultados similares a los presentados en la conclusión.

Trabajo de campo

Una vez introducido a Leonardo Pisano, y a su valioso aporte a las ciencias, nos detenemos en sus ratios más importantes, y específicamente, en las zonas objetivos creadas a partir de los mismos.

Acorde a lo visualizado en los mercados financieros, se presentan retrocesos o regresiones en ciertos porcentuales. Según Fibonacci, en una tendencia fuerte, un retroceso mínimo suele dirigirse en un primer impulso a la zona del 23,6% del recorrido, y en caso de romper con esta, la cotización suele dirigirse a la zona alrededor del 38,2 por ciento, para luego tocar la zona del 50%, y en una tendencia más débil, el retroceso porcentual máximo es de aproximadamente el 61,8, llegando luego a un punto que no ha sido tan tenido en cuenta por Leonardo Pisano pero que en nuestro trabajo diario creemos importante resaltar debido a los resultados que arroja, nos referimos al ratio del 76,4%; llegando finalmente como punto máximo a la zona del 100%.

Una vez que el precio supero el 100% de la regresión, y fue confirmado, entonces estamos en condiciones de afirmar que se ha modificado la tendencia dominante, y el precio se dirigirá a nuevos objetivos, que según Fibonacci, serían en primer medida el 161,8%, luego el 261,8%, y posteriormente el 423,6%.

En la Tabla 2, se visualizan los Ratios legados por Fibonacci, a partir de la división entre si de los números arrojados en su secuencia numérica.


Ahora bien, la propuesta es combinar las regresiones de precios utilizando los ratios de Fibonacci filtrándolos con el Oscilador Zigzag, dentro de una tendencia mayor definida, con el objetivo de corroborar el cumplimiento de los objetivos de precios.

La popularidad y utilidad del Zigzag, pueden ser atribuidas a tres importantes características: es un efectivo filtro del ruido del mercado, sus gráficos representan la tendencia principal con gran claridad, y sigue siendo aún, un indicador sencillo para la interpretación final del precio.

Sin embargo, este oscilador posee como principal desventaja su natural dinámica, cuando indica la dirección de la tendencia (la última pierna del mismo) debe ser verificada, ya que puede ser engañosa.

Su funcionamiento es sencillo, presenta el movimiento mayor de los precios conectando los picos (High Price) y las depresiones (Low Price) con líneas rectas. El parámetro de inclinación de la pendiente de la cotización especifica el porcentaje que el mismo debe moverse para formar un nuevo recorrido, o línea “zig” o “zag”.


Este oscilador filtra los cambios en el grafico subyacente que son menores a una cantidad especificada acorde al valor del parámetro de inclinación definido. Solo muestra los cambios significativos. Los movimientos de los precios mínimos son fijados en términos de porcentajes, y pueden estar basados tanto en los precios de cierres, como en los rangos de precios máximos/mínimos.

Ej.: El Zigzag establecido en un 10% respecto a las velas de OHCL (Open-High-Close-Last), trazaría una línea que solo se revertiría con cambios mayores al 10% desde el máximo precio al mínimo. Esto implica que todas las variaciones de precios menores a este porcentaje serán ignoradas.

Luego, una vez definido el método a utilizar para el cálculo objetivo de los rallies alcistas y bajistas, se ha de hacer referencia al Oscilador ZigZag, se comienza por la constatación empírica de los datos de cada par bajo estudio, que abarcaremos en la siguiente sesión.